Translation of "Rightly" in Japanese

He was rightly punished.

彼は罰せられたが、それは当然のことだ。

They are cousins, if I remember rightly.

私の記憶が確かなら彼らはいとこ同士だ。

He is, quite rightly, very grateful to them.

彼は、きわめて当然のことだが、彼らにとても感謝している。

Murat is rightly remembered as one of the  great battlefield cavalry commanders of  

ムラトは、 歴史の 偉大な戦場騎兵隊の指揮官の1人として正しく記憶されています