Translation of "들어오기" in English

인터넷으로부터 우리 언어에 들어오기 시작한

There's a new phrase creeping into our language

왠지는 모르겠지만, 그날 이후 섭외 요청이 들어오기 시작하더니

But for some reason, after that talk, I got a call to do another one,